影响系数法靠谱吗？
盛德恩 衡超装试（北京）科技有限公司
在高速动平衡领域影响系数法人人皆知，做挠性转子高速动平衡一刻也离不开它，何来它靠谱吗之问？
一、从一个简单的例子说起
设有一个细长圆柱形挠性转子，两端支承，结构对称，如图。其上两个端面90°相位处各有一个不平衡量1U，中间平面0°处有一个不平衡量0.5U。在刚性状态下两支承平面上共测得的不平衡量为2.0616U，相位为76°，如图1、2。
图1
图2
将转子升速进入到一阶临界转速区，中间面上的不平衡量产生的离心力将转子拉成弓形，即一阶振型，其轴线曲线为正弦波。其中L为两支承间的距离，x为转子轴线上任意点的横坐标。转子上沿轴向分布的不平衡量与振型函数相乘沿整个转子长度积分得模态不平衡量。本转子上有三个离散的不平衡，两支承面处的不平衡与正弦波的乘积为0，不能激起一阶模态振动，中间平面上的不平衡量与正弦波的乘积仍为0.5U，所以该转子上的一阶模态不平衡量为0.5U，相位在0°。设在一阶临界转速区内某转速上旋转的因转子弓形产生了离心动载荷，使中间平面不平衡量离心力放大了5倍，即不平衡量被放大为2.5U。通过计算该“不平衡量”与两端面不平衡量的向量和可知，两支承平面上共测量到的不平衡量（测得的振动量换算为不平衡量）为3.2U，相位在38.7°，如图3。如果要平衡该转子，这就是它的初始状态测量。
图3
平衡工作开始时并不知道转子上不平衡量的大小与分布，进入到临界转速区后摆架振动增加迅速，于是平衡一阶振型。用试重法在中间平面270°处加不平衡量1U作为试重，此时转子中间平面上的不平衡量为该试重与原不平衡量的向量和，即1.12U，位于296.6°，如图4。
图4
将转子升到同一转速进行测量，同样因转子弓形将该不平衡量放大了5倍，即5.6U/296.6°，通过计算它与两端面上的不平衡量的向量合成，可知两支承面上测量到的“不平衡量”为3.91U，相位310°，如图5。
图5
该向量与初始测得的向量3.2U/38.7°之差即为所加试重1U所引起的响应，即5U/270°，如图6。
图6
根据影响系数法原理，为了校正掉转子初始状态时的3.2U/38.7°，需要在中间平面上38.7+180=218.7°处加不平衡量。
图7
加上此校正质量后中间平面上的不平衡量为该不平衡量与原不平衡量的向量和，即0.4U/270°，如图7。
在此状态下将转子升速到同一转速，两支承面上测量到的不平衡量为0，似乎一阶模态不平衡量得到了校正。继续升速一阶模态不平衡量被放大10倍，则两只摆架上测得的不平衡量为2U/270°，一阶模态不平衡量又显现出来了，这是为什么？
与初始状态对比，原来的一阶模态不平衡量是0.5U/0°，现在是0.4U/270°，减低率仅为(0.5-0.4)/0.5=20%，非常低。是哪里错了吗？
二、对照一下标准中影响系数的计算与应用的方法
在国标《GB/T6557-2009 挠性转子机械平衡的方法和准则》的附录G《不平衡校正计算的方法》给出了由观测实验质量组效应来计算不平衡校正的一种方法。下面引用标准原文和原插图，如图8：“图中矢量代表对某个任意参考角度而绘出的初始振动，矢量代表当在转子上加一试验质量组时在同一转速下对同一参考角度绘出的合成振动，那么，试验质量组的“效应”用矢量代表其幅值和相位。因此，为使原始振动为零，试验质量组应移过角度∠BAO并且试验质量组中的每个质量的大小按比例进行调整”。
可见我们上面的理解和计算都没有错。那么是不是影响系数法的应用条件有所限制呢？回看本标准的内容我们注意到：
第7条“挠性转子高速平衡方法”中的第7.3条“方法G：多速平衡”这一节里讲到高速平衡的基本原则：“转子逐次在一系列的平衡转速下按照振型原理逐阶进行平衡，应选择工作转速范围内靠近每阶临界转速的转速作为平衡转速，也可能是靠近最大的可允许的试验转速。大体上是在工作转速范围内，相应于临界转速的每阶振型逐阶被校正”。
本条目项下的第7.3.1条为“初始低速平衡”，其中讲到：“经验表明，在高速平衡前进行低速下初始平衡可能是有利的，这对于仅受第一阶挠曲临界转速明显影响的转子特别有利”。
图8
可见，标准没有明确地说是否必须先做低速平衡，只是说做了有利。那么我们先做低速平衡再做一阶振型平衡，观察一下。
三、 先做低速平衡之后的一阶振型平衡
前面一节讲过，初始状态下低速状态两支承平面测得的总不平衡量为2.06U，相位为76°。如果转子上距两端L/4处轴向位置上有两个校正平面，那么在该两平面上的76+180=256°处各加一个不平衡量1.03U则低速不平衡状态得到校正。考虑到振型函数，这两个不平衡量所产生的一阶模态不平衡量为。它与中间平面0°上原有的0.5U合成为1.42U/275.9°，如图9。
图9
下面再用影响系数法测量并校正一阶模态不平衡量。首先测量初始状态，将转子升速进入一阶临界转速区的同一转速上，在模态不平衡1.42U/275.9°作用下，将转子拉成弓形。需要说明的是，两个L/4处新加的不平衡量对一阶模态不平衡量的贡献是它的0.707倍，随转子旋转时它仍会以全部不平衡量产生离心力的，为了考虑这个因素，在下面的计算中我们分别讲转子挠曲产生的不平衡量和不平衡量本身。设此时因转子弓形产生的离心力使两支承面上感受到的“不平衡量”将模态不平衡量放大4倍，即1.42X4=5.68U，相位275.9°。此时两支承面上感受到的不平衡量还有原来的两个端面上的共2U/90°和中间平面的0.5U/0°以及新加的两个共2.06U/256°，总的向量合成仍为5.68U/275.9°，也就是说后面三个向量合成为零，正是低速平衡的结果，如图10。
图10
为了平衡一阶模态，在中间平面的90°处加试重1U，则与前面的模态不平衡1.42U/275.9°合成为0.44U/289.5°，如图11。
图11
将转子升速到同样转速，模态不平衡量将转子拉弯，弓形转子产生的不平衡量达至4倍，即4X0.44U= 1.76U，位于289.5°，它与试重不平衡量1U/90°合成，（前面计算过了其余几个原有的不平衡量合成的结果为0）摆架上感受到的不平衡量为0.88U，相位311.7°，如图12。
图12
两次测量结果向量相减得试重的效应，5U/90°，如图13。即在这个转速下在90°处加1U不平衡量获得90°处5U的不平衡量效应，为了校正掉275.9°处的5.68U的不平衡效应，应在275.9-180=95.9°处加不平衡量。校正后剩余模态不平衡量为1.42-1.14=0.28U。
图13
对照初始状态的模态不平衡量1.42U，减低率为(1.42-0.28)/1.42=80%，比不做低速平衡校正改进了许多，但仍不能达到100%。
需要说明的是，在中间平面加上这1.14U校正不平衡量后，刚性状态的平衡状态又被破坏了，需要在对面180°角度上在不产生新的一阶模态不平衡的平面上，即两个端面上，加同样大的不平衡量予以补偿。如果端面不能进行校正而必须在两个L/4校正平面上校正，它会产生新的一阶模态不平衡。如果振型函数已知，如这里的正弦波，则可进一步计算一次求得三个面的校正量，即中间平面1.14/(1-0.707)=3.89U，两侧平面反向各1.945U，否则需要进行多次反复的测量和校正。
还需说明，如果两端面能够做校正，一开始在这两个面上校正低速不平衡量，不会影响一阶模态不平衡，则一阶模态不平衡的影响系数的确定要精确的多，校正取得的不平衡减低率也会高得多。
上述示例说明，国标GB/T6557-2009中所讲的“在高速平衡前进行低速下初始平衡可能是有利的”是正确的，更进一步讲，如果低速不平衡校正在不影响一阶模态不平衡的平面上进行则效果更佳。
四、如果转子是不对称的
上面我们举的例子是个结构和不平衡量分布完全对称的转子，这纯粹是为了说明问题简单而方便。非对称转子的推导和计算就太复杂了，没必要花费更大的精力，因此这里直接引用经典教材里的内容。
图14
图14是我上大学时的《机械原理》教材，里面有一章讲机械的平衡，其中也讲到了挠性转子的平衡。讲挠性转子的动平衡方法中讲到了振型平衡法，第一步对转子进行刚性动平衡，第二步在一阶临界转速区域，比如0.9倍临界转速下，平衡一阶振型。加在中间平面的校正质量通过试加重法来确定，这些与我们前面所述及的一样。不过教材里讨论的是两支承平面上的振动，由于是针对一般性的问题，转子是非对称的，两支承面上的振动幅值和相位都是不同的，因此初始振动和加试重时的振动都有两组数据，影响系数也有两个，如图15。以哪个影响系数为准呢？答案是二者的平均，包括幅值的平均和相位角的平均。试重m在两支承面引起的振动向量分别为和 ，对应计算出的需加装的校正质量分别为和，角度为原加装角度再加上和。最后应加校正质量取二者的平均，相位角也取平均。
图15
很显然根据平均计算出来的校正质量和相位来校正，不能把左右两支承面的振动降到0。这也说明影响系数法在理论上就是一种近似方法。
五、上述例证小结
把上面的例证梳理一下使我们对影响系数法有个更清晰的认识，可以得出如下一些基本结论：
1. 在高速动平衡机上进行挠性转子平衡，即使系统是线性的，影响系数法也是一种近似的方法，它能帮助我们有效地降低挠性转子各阶模态不平衡，降低支承振动，但不能给出准确的校正方案，不能完全校正掉各阶模态不平衡量。
2. 对于低速平衡测量，影响系数法是准确的，就如同低速平衡机的永久标定特性，标定常数实际上就是影响系数。但对于挠性转子一阶模态的平衡，只有转子上存在纯一阶不平衡的情况下影响系数法才是准确的。对于二阶、三阶、以及更高阶模态，也同样如此。
3. 工程实际中转子只存在纯某阶不平衡的情况是不存在的，所以影响系数法在理论上便不是精确法，高速平衡实际中很难期望一次不平衡量降低很多。
4. 用振型平衡法平衡挠性转子应先从刚性状态平衡开始做起，低速状态不平衡校正后，有利于提高一阶模态的不平衡减低率。同样道理，刚性和一阶不平衡校正后，有利于提高二阶模态的不平衡减低率，依此类推。
六、挠性转子动平衡方法中的影响系数法
在以上的叙述中所提到的，通过加试重的过程来确定校正质量的大小和相位的方法，是一种广义的影响系数法，它广泛地应用于工程实践中，比如现场动平衡、本机在线动平衡等。
在挠性转子动平衡方法中，前面所提及的先从低速状态平衡开始，再逐阶平衡一阶、二阶，三阶等的平衡方法通常叫振型平衡法。该方法物理意义直观，与人们的常规思维逻辑一致，所以被有平衡经验的工程师们所喜欢。但应用此方法需要个前提条件，就是对转子的各阶振型要事先了解，这对新手平衡新的转子是个不小的障碍。
与振型法相对的是影响系数法，这里是狭义的影响系数法，特指挠性转子动平衡的一种方法。对一个振型和临界转速都未知的转子，其上有m个校正平面，在平衡机及转子上有n个测点，其机械振动被测量，从初始状态未加任何试重开始升速转子测量各测点的振动，然后逐个在校正平面上加试重升速测量，直至m个平面都做完，然后针对某个或几个感兴趣的转速，逐点计算第i个平面加重对第j个测点振动的影响，即影响系数cij，最后得到一个影响系数矩阵[cij]，再根据影响系数矩阵计算出一组校正质量，包括其大小和相位。由于数据采集量和计算量都很大，手工难以完成，这项工作通常都是由计算机通过专门的软件来完成，即所谓计算机辅助挠性转子动平衡系统。
影响系数法听起来就像一把万能钥匙，再加上计算机的强大算力，这样的系统是否就威力无比所向披靡了呢？现实情况并非如此。如前面所讲，老平衡工程师更喜欢凭经验做平衡，这样的计算机系统基本就是个摆设，年轻工程师开始应用这样系统几年以后也越来越多地靠经验来平衡，越来越少地依赖这样的系统。这是何因？
除了需要开机次数太多之外，不平衡（振动）减低的效率偏低也是重要原因之一。如前面分析，影响系数只有对纯本阶不平衡状态才是准确的，一个待平衡的转子上存在着包括刚体振型不平衡量在内的各阶模态不平衡量，此时测得的影响系数矩阵内的各影响系数都是不准确的，据此计算出的校正质量组当然也是不准确的。做过一轮不平衡校正之后，转子内的各阶模态不平衡量都变了，上一步测得的影响系数都不再适用了，要想获得针对当前不平衡状态的、更准确些的影响系数，还需从头再来一遍。因此影响系数法做平衡也是一个逐步逼近的过程，而不是想象中的一步应该基本到位，结果存在偏差也仅来源于测量和计算误差，其实理论上它就不是一个精确的方法。
需要说明的是，挠性转子高速动平衡影响系数法在理论上是针对以转子上各点动挠度为测量参数的，如图15。只要你能处理好测量平面处的静偏摆（run-out）、轴承刚度等问题，保证信号的正确性，是可以获得较理想的计算精度的，因为刚体振型不平衡量不产生挠曲振型效应，各阶临界转速之间通常也有足够的距离。但高速平衡机上通常以摆架振动为测量参数，刚体振型不平衡量始终会起作用激起摆架振动，这是问题的主要原因。
图15
该方法还有一个特点就是平衡过程中感觉系统像个黑匣子，每次测量运转的物理意义不直观，状态难预期，校正的效果也只能听天由命。
七、高速动平衡解算系统的前途在哪里？
不得不说，现在高速动平衡理论远没有像低速平衡那样成熟，转子在平衡机上一次运转就能测量出两个平面上不平衡量的大小和相位，据此测量结果转子上的不平衡量就可以得到理论上的完全校正。
而挠性转子的高速动平衡，无论是用振型平衡法还是影响系数法（本质上都是影响系数法），都是一个试错过程，是很传统的方法。
挠性转子不平衡解算方法的改进有赖于理论的突破。现代转子动力学理论日趋成熟，数据采集和分析处理技术发展迅速，转子一次升降速运转能够获得大量的关于转子动力学行为的数据，结合能够已知的高速动平衡机自身的动特性参数，据此解算出挠性转子上的不平衡量的分布，并给出校正方案，以降低支承处的动载荷和转子内部弯矩，这个方向值得探索。若能实现一次测量运转就能测得各校正平面上校正质量的大小和相位那将是高速动平衡领域划时代意义的突破。
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